竞价机制：从一价到二价

📝 Before You Continue: 本章需先读 12.2（eCPM 与计费模式）——所有排序与支付公式都建立在 eCPM 口径之上。本章引入的 IC/IR 概念会在 8.3（端到端生成式广告 EGA）中被深度使用，建议两章对照阅读。

搜索结果页最顶上那几条广告位，每个值多少钱？这个问题没有「正确答案」——它取决于一次拍卖怎么设计。广告系统价值 = 广告转化效率 × 计价机制 × 广告资源量 × 投放效率，计价机制是四大支柱中最「制度性」的一个：它不优化任何模型，却决定了所有参与者的行为方式。经济学告诉我们「价格围绕价值上下波动」，而一个好的 竞价机制（Auction Mechanism） 应当让价格无限逼近其价值。

这条路走得并不平坦。1998 年 Overture 首创付费搜索时采用一价拍卖，结果广告主们陷入了永不停歇的出价追逐战；2002 年 Google 引入二价思想后市场才稳定下来；而到 2019 年前后，程序化交易的头部交易所又集体回到了一价。一价 → 二价 → 再回一价，这个循环的每一步都蕴含着机制设计的深层逻辑。

读完本章，你将能够：

• 用 位置拍卖（Position Auction） 模型描述多坑位广告的分配与计价，写出期望价值 $u_{is}=v_i\cdot x_s$ 与 eCPM 排序规则
• 解释 广义第一高价（GFP） 为何不存在稳定的纯策略纳什均衡，并逐步推演两人出价的震荡循环
• 证明单坑位 二价拍卖（Vickrey Auction） 下如实出价是占优策略，并给出 激励兼容（IC） 与 个体理性（IR） 的形式化定义
• 手算 广义第二高价（GSP） 与 VCG 在多坑位下的支付与效用，说清二者在 truth-telling 与收费水平上的差异
• 用交互式模拟器亲手验证「虚报会发生什么」，完成 5 道分层练习题

12.3.0 位置拍卖模型：把「卖广告」变成数学问题

我们先建立一个能统一描述所有竞价场景的框架。设页面上有 $S$ 个广告坑位、$N$ 个参与竞价的广告主；广告主 $i$ 对「一次点击」有 真实估值（Valuation） $v_i$（这是他的私人信息，平台看不到），并向平台提交 出价（Bid） $b_i$（CPC 口径，即声称每次点击愿意付多少钱）。坑位有天然的优劣：位置越靠前越容易被点击，我们用 位置点击率 $x_1>x_2>\cdots >x_S$ 刻画，$x_s$ 是坑位 $s$ 的点击率。

于是广告主 $i$ 拿到坑位 $s$ 的期望价值为：

$$u_{is}=v_i\cdot x_s$$

一次点击值 $v_i$ 元，坑位 $s$ 以概率 $x_s$ 产生点击，二者相乘就是这次展示对广告主的期望价值。这个模型叫 位置拍卖（Position Auction） ：多个广告主竞争多个有次序的坑位，坑位之间的唯一差异是点击率。对展示广告（CPM 结算）只有一个坑位，$s=1$，模型退化为单坑位拍卖；搜索广告的信息流广告位、电商的推荐坑位，都是 $S>1$ 的情形。

平台怎么看？平台看不到 $v_i$，只能按申报的出价计算每个组合的期望收益，即 12.2 引入的统一口径：

$${\text{eCPM}}_{is}=b_i\cdot x_s$$

把广告主按出价从高到低排、依次配到点击率从高到低的坑位，总 eCPM 最大（排序不等式的直接推论）。所以无论采用哪种定价机制， 分配规则 几乎总是「按出价（乘以质量分）排序」——真正让各家机制分道扬镳的，是 定价规则 ：赢家到底付多少钱。

🧠 Mental Model: 排座位收费

把广告位想成教室里有次序的座位：前排看得清（高 CTR），后排看不清（低 CTR）。每个学生（广告主）心里都有前排座位值多少钱的底价（$v_i$），但报名（出价 $b_i$）时可以撒谎。老师（平台）按报名高低排座位，然后收学费。关键在于学费怎么定：按「你自己报的价」收，学生就会疯狂试探底线；按「刚好压过你后面那个人」收，报真实底价才不吃亏。本章的全部内容，就是这一句直觉的严格化。

任何竞价机制都可以拆成两半： 分配规则（Allocation Rule） 决定「谁赢哪个坑」， 定价规则（Pricing Rule） 决定「付多少」。分配规则决定市场的效率（好广告是否拿到好位置），定价规则决定市场的诚实度（广告主是否愿意报出真实估值）。接下来的三节，我们将看到同一套分配规则配上三种不同定价规则——一价、二价、外部性定价——会导出截然不同的市场形态。

Analysis: 位置拍卖模型有两个简化假设：坑位点击率只与位置有关（真实系统还要乘以广告自身的质量分，即 $b_i\cdot q_i\cdot x_s$ 排序）；广告主估值在一次拍卖内不变。尽管如此，它足以揭示机制设计的全部分歧点——分配与定价的分离、激励与稳定的权衡，后续所有工业复杂度都是围绕这个骨架做的加法。

12.3.1 一价拍卖 GFP 的失败：为什么「付自己出的价」行不通

最直觉的定价规则是 一价拍卖（First-Price Auction） ：谁出价高谁赢，赢家按自己的出价支付。推广到多个坑位就是 广义第一高价（Generalized First Price, GFP） ：按出价排序分配坑位，每个人按自己的出价付钱。1998 年 Overture 用这套机制开创了付费搜索，也在随后几年里让整个市场陷入了 chronic 的震荡。

问题出在哪？在一价下，你的支付与你的申报完全绑定——报高了自己多付，报低了自己省钱。假设单坑位、两个广告主 A 和 B，估值分别为 $v_A=1.10$、$v_B=1.05$（元/次点击）。每一轮拍卖的出价动态如下：

注意每一轮的两个细节：落后者永远只比对手 高一丁点 （0.01）就足以抢走坑位；而领先者一旦发现对手回撤，立刻把出价砍到刚好压过对手（1.04 → 0.91）。价格呈锯齿状循环：爬升—逼近估值—崩落—再爬升，永不收敛。

这个追逐没有终点，我们可以严格说明原因。纯策略纳什均衡（Pure-Strategy Nash Equilibrium） 要求存在一个出价组合，任何一方单独改变出价都无法获益。检验任意组合 $(b_A,b_B)$、$b_A>b_B$：只要两者差距大于最小加价单位，赢家 A 就可以降到 $b_B+\epsilon$ 依然获胜并省下真金白银——偏离有利；而只要 B 的估值高于 A 的当前出价，B 加价 $\epsilon$ 即可夺回坑位——偏离同样有利。两条修正规则互相追逐，永远不存在「双方都不想动」的组合。这正是刘鹏笔记中的结论：一价拍卖容易导致价格频繁波动的「纳什不均衡」。

图中蓝线是 A 的出价、黄线是 B 的出价，虚线是两人的估值上限。可以看到出价互相追逐着爬升，贴到估值后崩落，然后再爬升——市场永远在寻找一个不存在的平衡点。

市场层面的后果是系统性的。平台收入随出价锯齿剧烈波动，无法预测；广告主必须七乘二十四小时盯着对手调价，运营成本高企（当年甚至催生了专门的自动出价代理）；更糟的是，出价不再传达任何真实信息——你看到的 $b_i$ 只是对手上一轮试探的结果，与他的真实估值 $v_i$ 毫无关系。GFP 的失败告诉我们： 机制不是中性的容器，定价规则本身就在塑造参与者的行为。

Analysis: GFP 的教训在机制设计史上极为经典：分配效率没问题（出价高者得高位），坏的只是激励结构。它同时也解释了为什么「让广告主自己优化出价」在一价下行不通——出价是最优反应函数的迭代，而非一个可静态优化的参数。修复方向因此清晰：把「支付」与「申报」解耦，让谎报无利可图。

12.3.2 二价拍卖与激励兼容：让说真话成为最优策略

修复方案由经济学家 William Vickrey 于 1961 年提出（他因此获得 1996 年诺贝尔经济学奖）。二价拍卖（Second-Price Auction） ，也叫 Vickrey 拍卖 ：出价最高者赢，但按 第二高出价 支付。单坑位下，赢家支付的是「别人的价」，而不是「自己报的价」。

为什么这一改动如此关键？我们证明：在二价下，如实出价 $b_i=v_i$ 是 占优策略（Dominant Strategy）——无论别人怎么出，说真话都不比任何谎报差。设你的估值为 $v$，其他广告主的最高出价为 $B$，考察两个偏离方向：

• 出低价 $b<v$：你的支付本来就跟自己的出价无关（赢了付 $B$），所以出低唯一改变的，是那些 $b<B<v$ 的局面——这些局你按真话本可以赢且效用 $v-B>0$，现在却白丢了。赢面缩水，支付没变， 只会变差。
• 出高价 $b>v$：多赢来的都是那些 $v<B<b$ 的局面——你赢了，但要付 $B>v$，效用 $v-B<0$，比不赢（效用 0）更惨。原本能赢的局面支付照旧， 也只会变差。

两个方向都堵死，恰好按估值出价同时避免了「白丢赢面」和「亏本赢」两种错误。支付与申报解耦，申报才敢暴露真话——这是二价拍卖全部魔力的来源。

🧠 Mental Model: 精明的举牌代理

二价拍卖等价于你委托一位绝对精明的代理去现场举牌：你告诉他你的底价 $v$，他永远只把价加到「刚好赢过在场最高出价」为止。你不用猜对手、不用留利润空间——报出真实底价，代理自动帮你省到极限。密封二价拍卖只是把这个代理做成了制度。

这个性质有正式名字，它们是贯穿本章与 8.3 的两个核心概念。激励兼容（Incentive Compatibility, IC） ：如实报告估值是占优策略，形式化地，对任意谎报 $b_i$：

$$u_i(v_i;v_i,{\mathbf{b}}_{-i})\ge u_i(v_i;b_i,{\mathbf{b}}_{-i})$$

个体理性（Individual Rationality, IR） ：参与拍卖不会让理性的参与者吃亏，即支付不超过申报价值 $p_i\le b_i$，效用非负。IC 保证「说真话不亏」，IR 保证「参与不亏」——二者合起来，市场才有稳定的诚实参与者。

💡 Key Insight: 8.3 的 EGA 把 IC 量化为 ex-post regret（谎报最多能多赚多少，IC $\iff$ regret = 0）并写进损失函数，用 Sigmoid 支付率保证的正是 IR。本章的定义是那套端到端 machinery 的经济学原点——机制设计正从「后处理规则」变成「可微的模型约束」。

Analysis: 二价的严格 IC 只在单坑位成立。坑位一多，「按第二高出价支付」无法直接推广——不同坑位点击率不同，支付必须跨位置折算，而这个推广（下一节的 GSP）恰好丢掉了占优策略性质。单坑位是机制设计的实验室，多坑位才是工业战场。

12.3.3 广义第二高价 GSP：多坑位的工程折中

多坑位下怎么把二价思想推广？ 广义第二高价（Generalized Second Price, GSP） 给出工业界沿用二十年的答案：仍按出价（eCPM）排序分配坑位，但第 $i$ 名广告主 按「下一名的 eCPM 折算到自己点击率」支付。CPC 计费下，第 $i$ 位（坑位点击率 $x_i$，下一名出价 $b_{i+1}$、坑位点击率 $x_{i+1}$）的每点击支付为：

$$p_i=\frac{b_{i+1}\cdot x_{i+1}}{x_i}$$

末位没有「下一名的坑位」可参照，按 最低保留价（Reserve Price） $r$ 支付。直觉有三层。其一：你抢占坑位 $i$，把下一名挤到了坑位 $i+1$，你造成的「展示机会损失」以 eCPM 计就是 $b_{i+1}\cdot x_{i+1}$，除以 $x_i$ 折算成你的每次点击单价。其二：$p_i\cdot x_i=b_{i+1}\cdot x_{i+1}$——你付的 eCPM 恰好等于下一名在其位置上的 eCPM，即 保住第 $i$ 名所需的最小 eCPM。其三：你的支付只取决于下一名的出价，与你自己的申报解耦了一半——这正是二价思想的残留。

给一个完整数值例子。三个坑位 $x_1=0.40,x_2=0.20,x_3=0.10$，保留价 $r=0.50$；三个广告主甲、乙、丙估值分别为 $4,3,2$（先假设如实出价以便对比机制，$b=v$）。按出价排序：甲 $\to$ 坑位 1、乙 $\to$ 坑位 2、丙 $\to$ 坑位 3。支付与效用逐一可算：

甲出价 4 元却只付 1.5 元——省下的 2.5 元正是二价机制给「敢报真话」的奖励。

但 GSP 有一个必须诚实地面对的缺陷： 它不是严格 truth-telling 的。刘鹏笔记的原话是：GSP「整体市场不是 Truth-telling 的，与 VCG 相比会收取广告主更多的费用」。用一个两坑位反例看清「说真话不必最优」。设 $x_1=0.40,x_2=0.30$，保留价 $r=0.20$；甲 $v=4$、乙 $v=3$，均如实出价。甲占坑位 1，支付 $p=3\times 0.30/0.40=2.25$，效用 $(4-2.25)\times 0.40=0.70$。但若甲把出价降到 2.0（主动落到坑位 2），只需付保留价 0.20，效用变为 $(4-0.20)\times 0.30=1.14>0.70$——说真话不是最优策略。GSP 下最优出价依赖对手的出价，不存在占优策略；当坑位间点击率差距小、下一名出价又高时，主动降档反而更划算。

那 GSP 为什么没有像 GFP 一样崩掉？因为它在博弈层面仍有秩序。GSP 存在 对称纳什均衡（Symmetric Nash Equilibrium, SNE） ，且该均衡是 无妒忌（Envy-free） 的：均衡中每个广告主都不想与相邻位置的人互换——若你顶到上一位，就得支付上一位的价位，效用不会提高。无妒忌意味着没有人有动机去抢别人的位置，市场得以稳定。也正是在均衡意义上，GSP 与 VCG 的收费差异显现：GSP 的均衡出价系统性高于真实估值，VCG 结算位于均衡收费区间的下界，因此 GSP 在多数均衡下 收取广告主更多费用。

Analysis: GSP 的胜利是工程折中的胜利。计算上，每次清算只需下一名的出价与两个坑位的 CTR，无需任何全局信息，毫秒级出价服务毫无压力；语义上，「你的价格由你后面的人决定」广告主一听就懂。理论性质（严格 IC）换工程性质（简单、稳健、可解释），这笔交易在二十年的工业实践中被证明是划算的——直到程序化时代多中介链路打破了这个平衡（见 12.3.5）。

12.3.4 VCG 机制：为「外部性」定价

如果说 GSP 是工程折中， VCG 机制（Vickrey-Clarke-Groves Mechanism） 就是理论最优解。它的定价哲学一句话可以说完： 每个广告主的收费，等于他给其他所有参与者造成的外部性损害——「你不在场，其他人本可多赚多少」。你被分配到坑位 $s$，就把你身后所有人往下挤了一位（甚至挤出榜单），每个人因此损失的价值之和，就是你该付的总账：

$$P_i=\underset{\text{其他人没有你时的总福利}}{\underbrace{\sum _{j\ne i}{u}_j^{\text{无 }i}}}-\underset{\text{其他人在场时的总福利}}{\underbrace{\sum _{j\ne i}{u}_j^{\text{有 }i}}}$$

每点击支付再按坑位点击率折算：$p_i=P_i/x_{s(i)}$（实际系统再与保留价取大）。

🧠 Mental Model: 用地补偿

一块地多个申请人竞拍，VCG 的规则是：赢家不按自己出价付钱，而是补偿所有落选者因此损失的价值合计。你占用这块地的社会成本，就是别人失去它的机会成本——为机会成本付费，而不是为「赢」付费。

先验证一个关键退化：单坑位下 VCG 恰好等于二价。你在场时其他人福利为 0；你不在场时，第二名拿到唯一坑位，福利为 $v_2\cdot x_1$。外部性 $P=v_2\cdot x_1$，折算到每点击支付 $p=v_2\cdot x_1/x_1=v_2$——正是第二高出价。二价拍卖是 VCG 的单坑位特例。

再算一个两坑位的完整例子。广告主甲、乙、丙估值 $v=4,3,2$，如实出价；坑位 $x_1=0.40,x_2=0.20$（丙落榜）。分配仍是甲 $\to$ 坑位 1、乙 $\to$ 坑位 2。逐个计算外部性：

甲（坑位 1） ：没有甲时，乙升至坑位 1（$3\times 0.40=1.2$）、丙升至坑位 2（$2\times 0.20=0.4$），他人福利合计 $1.6$；有甲时，乙在坑位 2（$0.6$）、丙落榜（$0$），合计 $0.6$。外部性 $P_{\text{甲}}=1.6-0.6=1.00$，每点击支付 $1.00/0.40=2.50$，效用 $(4-2.5)\times 0.40=0.60$。

乙（坑位 2） ：没有乙时，丙拿到坑位 2（$2\times 0.20=0.4$），甲不动（$1.6$），合计 $2.0$；有乙时，丙落榜，合计 $1.6$。外部性 $P_{\text{乙}}=2.0-1.6=0.40$，每点击支付 $0.40/0.20=2.00$，效用 $(3-2)\times 0.20=0.20$。

丙（落榜） ：没有丙时其他人不变，外部性为 0，支付 0，效用 0。

注意乙的账单为什么这么算：他损害的不是甲（甲反正拿坑位 1），而是被挤落榜的丙——VCG 精确到「每个人的位移」，而 GSP 只看下一名的出价折算，这就是两者的全部差距。

VCG 最诱人的性质是： 整体市场是 truth-telling 的 （刘鹏笔记原文）——如实出价是占优策略，且对任意坑位数成立。证明的关键是一个漂亮的改写。把效用展开：

$$u_i=v_i\cdot x_{s(i)}-P_i=\underset{\text{真实社会总福利}}{\underbrace{\left[v_i\cdot x_{s(i)}+\sum _{j\ne i}{u}_j^{\text{有 }i}\right]}}-\underset{\text{与你申报无关的常数}}{\underbrace{\sum _{j\ne i}{u}_j^{\text{无 }i}}}$$

第二项是个常数——「没有你时他人的福利」根本不取决于你怎么申报。于是最大化个人效用等价于最大化第一项，即 真实的社会总福利。而机制按你的申报选择「申报福利最大」的分配；当你如实申报时，机制恰好选到真实福利最大的分配——你的私心与社会的公心在数学上被对齐了。谎报只会诱导机制选一个「你以为好、实际不好」的分配。

Analysis: VCG 的工业处境是「理论满分、落地困难」。计算上，每个赢家都要做一次「除他之外的全局重排」，每次广告请求的服务端开销是 $O(N\cdot S\log N)$ 量级，在毫秒级出价链路里代价不菲。信息上，外部性计算需要知道所有参与者的完整收益结构，多级中介的程序化市场根本拿不全。认知上，「你付的是你给别人造成的损失」对广告主太反直觉，账单难以解释、销售难以推销。因此工业界长期偏好 GSP，Meta（Facebook）是少数大规模坚持 VCG 的主流平台。

12.3.5 GSP vs VCG 对比与「回到一价」

三种机制摆在一起，差异一目了然：

静态对比之外，值得亲手做实验。下面的交互式模拟器里有三位广告主，你可以修改每个人的出价与估值，分别在 GFP、GSP、VCG 三种机制下观察分配、支付与效用 $(v_i-p_i)\cdot x_s$；还可以步进演练「压低出价」「抬高出价」之后会发生什么，验证二价/VCG 下说真话效用最大。

建议按模拟器的默认剧本走一遍：B 压低出价（GFP 下反而有利，二价系下受损）、B 抬高出价（GSP 下效用不变——无妒忌的体现，VCG 下受损）、C 抬高出价（三种机制下都吃亏，且 GSP 下还连累无辜的 A 与 B）。走完你会对「定价规则塑造行为」有肌肉记忆。

📌 行业动态：2019 年前后，Google 等头部 ADX 全面从二价转向一价拍卖，以下是这一转变的前因后果（写作时点的公开行业信息，时间线以行业报道为准）。

故事到这里本该结束，但程序化交易改写了结局。随着 头部竞价（Header Bidding） 与程序化公开竞价普及，一次展示要经过 SSP → ADX → DSP 的多级链路转售，每一级都可能抽取佣金——二价拍卖的「第二高价」在多级转售后变得不透明：DSP 赢了竞价，却算不清自己最终按谁的「第二价」付了多少。于是 2019 年前后，Google 等头部 ADX 全面转向 一价拍卖（First-Price Auction） ：出价即支付，账单清清楚楚。

一价回归的代价是 truth-telling 不再由机制保证——出价直接等于支付，虚高就多付，机制的诚实性约束消失了。缺口由算法补上： 出价遮蔽（Bid Shading） 成为 DSP 的核心竞争力——用历史竞价数据估计「以出价 $b$ 赢得流量的概率分布」，在出价与赢率之间做期望优化，把出价压到接近「能赢的最低价」。历史完成了讽刺的循环：一价因不稳定被二价取代，二价因不透明又被一价收回——只是这一次的「一价」，配上的是统计学习驱动的智能出价，而非 GFP 时代的裸博弈。

Analysis: 机制选择的深层规律在此显形：机制的理论性质（IC、稳定、收费）从来不是唯一的决策维度，还需要考虑信息结构（谁能看见什么）、链路复杂度（几级中介）与参与者认知成本（账单能不能看懂）。GFP 死于激励，VCG 困于复杂，GSP 赢在平衡，一价回归靠算法接管激励——每一次轮换都是当时的约束条件下最不坏的选择。

12.3.6 与推荐系统的合流

回望本章，竞价正是广告与推荐的最大分水岭。推荐系统是单边优化：内容不会谎报自己的价值，系统只需对齐用户兴趣；广告是三方博弈——用户要体验、广告主要 ROI、平台要收入，且广告主的估值是私人信息。有私人信息才有谎报的可能，有谎报的可能才需要机制设计——推荐工程师转型广告的第一课，往往就是补上这一章的博弈论视角。

但两条技术路线正在合流。第一个方向是 智能出价（Smart Bidding） ：OCPC 等产品让广告主只报目标转化成本，平台代为出价，把出价换算进排序模型——bid 不再是排序分数的后处理乘子，而是作为特征与校准项进入模型，eCPM 约束被嵌入排序本身。第二个方向更彻底：8.3 的 EGA 把 Token 级竞价嵌入生成过程——分配用竞价引导生成概率，支付用独立网络学习满足 IC 的支付函数，ex-post regret 作为约束写进 Lagrangian 优化。二价拍卖「支付与申报解耦」的核心思想，在生成模型里以「分配与支付解耦」的形态重生。

机制设计的角色因此发生了根本迁移：从 后处理规则 （排序完成后跑一遍拍卖清算）变为 端到端约束 （把 IC/IR 写进损失函数、把支付函数变成可学习的网络）。这一趋势对推荐工程师是个好消息——你在 3.x 练就的排序建模能力依然是地基，而本章的机制设计语言（IC、IR、外部性、均衡）正在成为广告算法的准入门槛。读懂拍卖，才读得懂广告系统的经济学骨架。

⚠️ Common Mistakes in 12.3

本章小结

📌 Key Takeaways

❓ FAQ

Q1: GSP 与单坑位二价差在哪？

A: 单坑位下「下一名」没有位置折算问题，GSP 退化为二价。多坑位下支付必须跨位置按 CTR 折算（$p_i=b_{i+1}{x}_{i+1}/x_i$），而这个推广丢掉了严格 IC——二价的占优策略性质无法跨坑位延续，GSP 的稳定靠对称纳什均衡而非占优策略。

Q2: 既然 VCG 理论性质更好，工业界为什么不买账？

A: 三个原因：计算复杂（每个赢家一次全局重排，出价链路扛不住）、需要全局信息（多级中介市场拿不全所有参与者的收益结构）、广告主难理解（为「别人的损失」付费，账单解释成本高）。机制落地不只看理论，还要看工程代价与认知成本——GSP 恰好卡在折中点。

Q3: 一价回归后，DSP 怎么避免当冤大头？

A: 机制不再替你「只付第二价」，DSP 只能自己做 bid shading：用历史竞价数据估计「出价 $b$ 赢得流量的概率」，在赢率与支付之间做期望优化，把出价压到接近能赢的最低点。出价策略从「报真实估值」变成一个统计学习问题，这正是它成为 DSP 核心竞争力的原因。

🔗 前后关联

• 12.2 （eCPM 与计费模式）——本章所有支付公式都以 eCPM 为统一口径，GSP 的「按下一名 eCPM 折算」直接建立在 12.2 的 CPC/CPM 换算之上。
• 8.3 （端到端生成式广告 EGA）——本章的 IC/IR 定义在 EGA 中被量化为 ex-post regret 并写进损失函数；EGA 的「分配与支付解耦」正是二价思想「支付与申报解耦」的端到端重生。
• 3.x （精准偏好预测）——pCTR 预估追求的是绝对精度而非相对排序，因为它直接进入 eCPM 排序与 GSP 折算定价，估偏一点价格就算错。
• 5.3 （生成式范式演进）——端到端生成式的整体脉络是理解 12.3.6「机制嵌入模型」趋势的背景板。

Practice Problems

Work through all problems in order — they get progressively harder. Each has a complete solution you can reveal after trying it yourself.

Problem 12.3.1 — 位置拍卖与 eCPM 排序 🟢 Easy

广告主 A 估值 $v_A=5$、出价 $b_A=2.0$；广告主 B 估值 $v_B=3$、出价 $b_B=2.5$（均 CPC 口径）。坑位点击率 $x_1=0.40$、$x_2=0.10$。 (a) 按平台排序规则，各广告主拿到哪个坑位？ (b) 两人对所获坑位的期望价值 $u_{is}$ 各是多少？ (c) 若这是展示广告（单坑位），谁赢？用 eCPM 验证。

Problem 12.3.2 — GSP 三坑位完整支付计算 🟢 Easy

三个广告主出价 $b_1=5.0,b_2=3.0,b_3=1.0$，估值 $v_1=6,v_2=4,v_3=2$；坑位 CTR $x=(0.40,0.20,0.10)$，保留价 $r=0.30$。求每人的每点击支付、eCPM 支付与效用。

Problem 12.3.3 — VCG 两坑位外部性计算 🟡 Medium

广告主甲、乙、丙估值 $v=(5,3,1)$，如实出价；两个坑位 $x_1=0.40,x_2=0.20$。 (a) 计算甲、乙的 VCG 每点击支付与效用（丙落榜付 0）。 (b) 验证：若只有一个坑位，甲的每点击支付恰为第二高出价。

Problem 12.3.4 — GSP 非严格 IC 的构造性验证 🔴 Hard

沿用 12.3.3 的反例设定：两坑位 $x_1=0.40,x_2=0.30$，保留价 $r=0.20$；甲 $v=4$、乙 $v=3$。 (a) 双方如实出价时，甲的效用是多少？ (b) 甲改出 2.0 时的效用是多少？这说明什么？ (c) 若乙实际只出 1.0，甲出 2.0 与出 4.0 哪个更优？由此说明 GSP 为什么不存在占优策略。

🏆 Problem 12.3.5 — 证明：单坑位二价下偏离估值出价不增效用

设单坑位二价拍卖，你的估值 $v>0$，其他广告主最高出价 $B\ge 0$，你的出价 $b\ge 0$。效用：赢则 $u=v-B$，输则 $u=0$。证明对任意 $b$ 与任意 $B$：$u(v;b,B)\le u(v;v,B)$，且结论是「不增效用」而非「严格更优」。